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Scheda libro
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Immaginate una sfera. È un simbolo perfetto di unità.
Ciascun punto sulla sua superficie è identico ad ogni altro, equidistante
dal punto unico al suo centro.
La sfera è il fondamento dei cinque solidi platonici
e dei tredici archimedei che comprendono il cubo, l'ottaedro e
l'icosidodecaedro, dal nome simile
ad uno scioglilingua. Queste diciotto forme
sono le componenti dello spazio tridimensionale
di importanza fondamentale per l'architettura,
la chimica e la fisica atomica.
In questo prezioso volume ricco di illustrazioni, Daud Sutton ci guida in un
viaggio affascinante alla scoperta dell'elegante semplicità esistente nei
rapporti tra le bellissime forme della geometria solida. Pietre angolari
della ricerca matematica e artistica fin dall'antichità, esse continuano ad
ispirare chiunque sia interessato alla scienza, al disegno e alla
matematica.
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Indice:
Introduzione
I solidi di Platone
Il tetraedro
L’ottaedro
L’icosaedro
Il cubo
Il dodecaedro
Una breve dimostrazione
Tutte le cose a coppie
Attorno al globo
In tondo
La sezione aurea
Poliedri dentro poliedri
Poliedri composti
I poliedri di Keplero
I poliedri di Poinsot
I solidi di Archimede
Cinque troncamenti
Il cubottaedro
Un’abile torsione
L’icosidodecaedro
Quattro esplosioni
Rotazione
I duali di Archimede
Ulteriori esplosioni
Poliedri a imballaggio piatto
Simmetrie di Archimede
Tassellature tridimensionali
Ognuno racchiude l’altro
Espansioni e formule
Tabella dei dati
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Estratto:
I solidi di Platone
Le belle forme si sviluppano dall’unità
Immaginate di trovarvi su un’isola deserta; ci sono ramoscelli e pezzi di corteccia. Se cominciate a fare esperimenti realizzando strutture tridimensionali, è probabile che scopriate cinque forme “perfette”. In ogni caso avranno lo stesso aspetto da ogni vertice (punto d’angolo), le loro facce saranno tutte costituite dalla medesima forma regolare e ogni spigolo sarà identico. I loro vertici sono le distribuzioni più simmetriche di quattro, sei, otto, dodici e venti punti su una sfera (in basso).
Queste forme sono esempi di poliedri, che letteralmente significa “molti sedili”, e, dato che la loro prima descrizione come gruppo giunta fino a noi si trova nel Timeo di Platone, vengono spesso chiamati solidi platonici. Platone visse dal 424 a.C. al 347 a.C., ma esistono le prove che questi solidi erano stati scoperti molto prima (v. pag. 24).
Il cubo, con le sue sei facce quadrate, è noto. Gli altri quattro hanno nomi che derivano dal numero delle loro facce. Le facce di tre di essi sono triangoli equilateri: il tetraedro ne ha quattro, l’ottaedro otto, e l’icosaedro venti. Il dodecaedro ha dodici facce pentagonali regolari. Le dieci pagine seguenti forniranno una descrizione più particolareggiata di queste straordinarie forme tridimensionali.
Il tetraedro
4 facce, 6 spigoli, 4 vertici
Il tetraedro è composto da quattro triangoli equilateri, di cui tre si incontrano ad ogni vertice. I suoi vertici possono essere definiti anche dai centri di quattro sfere che si toccano (pagina a fronte, in basso a destra). Platone associava la sua forma all’elemento fuoco a causa della penetrante acutezza dei suoi spigoli e dei suoi vertici, e perché è il più semplice e il più fondamentale dei solidi regolari. I Greci conoscevano il tetraedro anche come puramis, da cui deriva la parola piramide. È curioso che la parola greca per fuoco sia pur.
Il tetraedro ha tre duplici assi di simmetria, passanti per i punti medi dei suoi spigoli, e quattro assi triplici, ciascuno passante per un vertice e il centro della faccia opposta (in basso). Ogni poliedro avente tali assi di rotazione ha una simmetria tetraedrica.
Ogni solido platonico è contenuto in una sfera circoscritta, che tocca ogni vertice. I solidi definiscono anche altre due sfere: la loro sfera mediana, che passa per il punto medio di ogni spigolo, e la loro sfera inscritta, contenuta nel solido, perfettamente tangente al centro di ogni faccia. Per il tetraedro il raggio della sfera inscritta è un terzo del raggio della sfera circoscritta (pagina a fronte, in basso a sinistra).
L’ottaedro
8 facce, 12 spigoli, 6 vertici
L’ottaedro è costituito da otto triangoli equilateri, di cui quattro si incontrano ad ogni vertice. Per Platone l’ottaedro era un intermediario fra il tetraedro, o fuoco, e l’icosaedro, o acqua, e pertanto lo attribuiva all’elemento aria. L’ottaedro ha sei assi duplici passanti per gli spigoli opposti, quattro assi triplici passanti per i centri delle sue facce e tre assi quadrupli passanti per i vertici opposti (qui in basso). Di qualsiasi poliedro che combini questi assi di rotazione si dice che ha una simmetria ottaedrica.
Le opere greche attribuiscono la scoperta dell’ottaedro e dell’icosaedro a Teeteto di Atene (417 a.C. – 369 a.C.). Si ritiene che il XIII libro degli Elementi di Euclide (v. pag. 18) sia basato sul lavoro di Teeteto sui solidi regolari.
Il raggio della sfera circoscritta all’ottaedro è maggiore del raggio della sua sfera inscritta per un fattore di œß 3 (v. pag. 59). La stessa relazione intercorre fra il raggio della sfera circoscritta e quello della sfera inscritta del cubo, e fra il raggio della sfera circoscritta e quello della sfera mediana del tetraedro.
Il tetraedro, l’ottaedro e il cubo si trovano tutti nel regno minerale. Spesso i diamanti formano degli ottaedri. |
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